Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Capitol IV

Capitolul IV. Dispozitii finale Art. 18 Modificarea statutului · Modificãrile sau completãrile la prezentul statut se fac prin hotãrâri ale AG prin votul a cel putin 2/3 din membrii asociatiei.  Art. 19...

Read more

Activitati de educatie rutiera

ACTIVITĂŢI DE EDUCAŢIE RUTIERĂ   Accidentul rutier reprezintă una dintre cele mai grave forme de vătămare înregistrate la nivel mondial conform rapoartelor internaţionale şi a datelor statistice înregistrate. După malformaţii congenitale şi...

Read more

Poeme universul copilariei

POEME – UNIVERSUL COPILĂRIEI   Ileana Faur, profesor Limba şi Literatura română Liceul Tehnologic Transporturi Auto, Timişoara   În studiul de faţă, referitor la cele mai cunoscute poeme eminesciene, am avut în vedere o abordate...

Read more

Instrumentul connect fours utilizat in a…

INSTRUMENTUL CONNECT FOURS UTILIZAT ÎN ACTIVITATEA DIDACTICĂ Profesor Bușcă Alexandru Liceul Tehnologic “Lazăr Edeleanu”, Năvodari Rezumat: Acest articol prezintă modul în care pot fi utilizate în activitatea didactică resursele educaționale interactive...

Read more

Obiectivele educationale ale familiei

OBIECTIVELE EDUCAŢIONALE ALE FAMILIEI   Prof. înv. primar, Rãu Monica Crina Şcoala Generalã Tîrnova, judetul Arad   Pãrintii care au acceptat, în cunostintã de cauzã, sã lase urmasi, implicit, si-au asumat rãspunderea educãrii lor în...

Read more

Studiul tendinte ecoeducationale in lume…

STUDIUL-TENDINȚE ECOEDUCAȚIONALE ÎN LUMEA DE AZI prof. Arjoca Mihaela Maria Colegiul Tehnic ‘’Ion Mincu’’, Timișoara Rezumat: Ecologia dezvoltă comportamente și atitudini corecte, față de mediul înconjurător și formele de viată...

Read more

Rolul competentelor in contextul dezvolt…

ROLUL COMPETENŢELOR ÎN CONTEXTUL DEZVOLTĂRII STRATEGIILOR ŞI POLITICILOR COMUNITARE ÎN DOMENIUL EDUCAŢIEI Prof. Comănescu Marghioala Colegiul Agricol ,,Dr. C. Angelescu” Buzău Intr-o societate bazată pe cunoaştere, competenţele sub formă de cunoştinţe,...

Read more

Instruirea diferentiata a elevilor prin …

INSTRUIREA DIFERENȚIATĂ A ELEVILOR PRIN APLICAREA TEORIEI INTELIGENȚELOR MULTIPLE Profesor învățământ primar, Odarca DEAC Școala Gimnazială „Petre Dulfu”   Baia Mare Stilurile de învățare ale elevilor se pot clasifica în diverse moduri...

Read more