Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Studiul privind selectia pregatirea si c…

STUDIUL PRIVIND SELECŢIA, PREGĂTIREA ŞI CONDUCEREA UNEI ECHIPE REPREZENTATIVE DE FOTBAL ÎN ŞCOALA GIMNAZIALĂ Profesor HATOS VASILE Şcoala Gimnazială ,,Gheorghe Munteanu,, Poiana Blenchii, Jud. Sălaj Mişcarea sportivă din ţara noastră...

Read more

Managementul prin obiective

MANAGEMENTUL PRIN OBIECTIVE   Prof. ec. Gr.I. Cîrcotă Roxana Liceul Tehnologic de Marină Galați   Rezumat Managementul prin obiective reprezintă cel mai larg utilizat sistem de planificare, luare de decizii şi control. Pentru ca managementul prin obiectve...

Read more

Sugestii pentru utilizarea filmului mult…

PARTEA V Sugestii pentru utilizarea filmului, multimedia, şi a tehnologiilor Web 2.0    Natura multimedia a instrumentelor noastre contemporane permite implicarea mai multor simţuri, vizând stiluri de învăţare multiple. Natura lor multi-modală implică...

Read more

Inspectia scolara generala a unitatilor …

CAPITOLUL II  Inspectia unitatilor de invatamant preuniversitar    SECTIUNEA a 4-a Inspectia scolara generala a unitatilor de invatamant preuniversitar: activitatea de postinspectie   Art. 33. -     In urma derularii activitatilor de inspectie, vor fi...

Read more

Educabilitatea

EDUCABILITATEA   CONCEPT Prin expresia „educabilitate”, psihopedagogii desemneaza potentialul de formare umana sub influenta factorilor de mediu sau educationali. Polisemantismul termenilor care compun aceasta definitie o fac foarte neclara. De exemplu, expresia „potential de...

Read more

Cum descopera parintii talentul copilulu…

Cum descopera parintii talentul copilului?     Sa cresti un copil e o provocare dura dar incitanta. Din nefericire acesti omuleti nu ajung la noi cu manuale de instructiuni. Noile definitii ale talentului...

Read more

Inspectia scolara generala a unitatilor …

CAPITOLUL II  Inspectia unitatilor de invatamant preuniversitar    SECTIUNEA a 3-a Inspectia scolara generala a unitatilor de invatamant preuniversitar: desfasurarea inspectiei   Art. 26. -     Inspectia scolara generala va fi deschisa de catre coordonatorul...

Read more

Mecanismele naratiunii in romanele lui C…

MECANISMELE NARAŢIUNII ÎN ROMANELE LUI CAMIL PETRESCU prof. Ghiţă Valentin-Viorel Şcoala Gimnazială Nr. 200, Bucureşti Prin prezenta lucrare încercăm să ilustrăm instanţele comunicării narative, având ca text suport două...

Read more