Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR     Inst. Aftinescu Dorina Florina Şcoala cu Clasele I-VIII, Galicea Mare, Dolj     Introducerea organizatorului cognitiv, ca metodã, ilustreazã principiul diferentierii progresive si serveste aceastã functie în raport cu orice...

Read more

Previziune cataclismica in poezia simbol…

PREVIZIUNE CATACLISMICĂ ÎN POEZIA SIMBOLISTĂ BACOVIANĂ         dr. Ştefan Lucian MUREŞANU     Motto: Vrăjitorilor evului mediu le spun: / - Lăsaţi să clipească ochiul senin deasupra Egipetului,              / Niciodată nu mor martirii dreptăţii. (George...

Read more

Spring Day in Europe

VALENŢE EDUCATIVE ALE PROGRAMULUI ,,SPRING DAY IN EUROPE”   Prof. Oltea Preluca Şcoala cu clasele I-VIII “Ion Creangã” Suceava   O zi de primãvarã pare, la prima vedere, o zi ca oricare, una din zilele...

Read more

Modificari si completari la Legea Educat…

Modificări şi completări la Legea Educaţiei Naţionale   Guvernul României a aprobat în şedinţa de miercuri, 30 mai, proiectul de ordonanţă de urgenţă privind modificarea şi completarea Legii Educaţiei Naţionale nr. 1/2011....

Read more

Jocul de rol

                                      JOCUL DE ROL   Prof. înv. preşcolar Chirilă Andreea Grădiniţa cu PP nr. 24, Botoşani     Jocul reprezintă un ansamblu de acţiuni şi operaţii care, paralel cu destinderea, buna dispoziţie şi bucuria, urmăreşte obiectivele...

Read more

Conditii externe ale invatarii scolare

CONDIŢII EXTERNE ALE ÎNVĂŢĂRII ŞCOLARE     Prof. Dinu Maria Şcoala cu clasele I-VIII, Bâlta, Dolj         Învăţarea şcolară, acest proces de receptare şi asimilare de informaţii şi de influenţe educative, dar şi procesul de...

Read more

Cum ne raportam la tentatiile culinare

CUM NE RAPORTĂM LA TENTAȚIILE CULINARE Prof. educator Mureșan- Chira Gabriel Școala Gimnazială Specială Centru de Resurse și Documentare privind Educația Incluzivă/ Integrată, Cluj-Napoca Prof. educator Ioviță Daniela Școala Gimnazială Specială Centru...

Read more

Le drame romantique

LE DRAME ROMANTIQUE   Prof. Maria Frăţilă,  Liceul Tehnologic ''Timotei Cipariu'' Blaj               L'objectif de cet étude est de présenter les traîts caractéristiques du drame romantique, ayant comme point d'appui le manifeste du...

Read more