Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale trigonometriei in fizica si topografie
Marţi, 08 Octombrie 2013 18:19

APLICAŢII ALE TRIGONOMETRIEI ÎN FIZICĂ ŞI TOPOGRAFIE

 

Prof. Carmen Crafcenco

Liceul Teoretic “ Mircea Eliade”, GALAŢI

 

Trigonometria găseşte numeroase aplicaţii în Statică, la compunerea forţelor, în optică dar şi în topografie. Topografia are scopul de a reprezenta în plan configuraţia unui teren cu toate amănuntele ce se găsesc pe suprafaţa sa (construcţii, drumuri,cursuri de apă etc.). Pentru atingerea acestui scop, se caută poziţia în plan a diferitelor puncte ale terenului; se strâng astfel elementele necesare figurării planului terenului adică proiecţia sa pe un plan orizontal sau pe o suprafaţă de nivel. În numeroase probleme practice trebuie să se cunoască distanţele dintre anumite puncte de pe suprafaţa pământului şi unghiurile dintre direcţiile determinate de câte două din aceste puncte. Măsurarea direct a acestor distanţe şi unghiuri este dificilă şi în unele cazuri, imposibilă. Folosind însă unele cunoştinţe căpătate la rezolvarea triunghiurilor, o astfel de problemă se reduce la măsurarea pe teren a distanţei dintre două puncte şi a unghiurilor dintre anumite direcţii; celelalte distanţe şi unghiuri se determină prin calcul.

 

1.      Compunerea forţelor concurente

Forţa este cauza care produce sau modifică mişcarea unui punct material sau a unui corp. O forţă se reprezintă pintr-un vector care are o mărime, o direcţie şi un sens. Vectorul este bine determinat când îi cunoaştem punctual de aplicaţie şi extremitatea.

Problema fundamentală a Statisticii constă tocmai în a determina rezultanta unui sistem de forţe, atunci aceasta există.

 

În cazul forţelor concurente fie două forţe F1= OA şi F2=OB cu acelaşi punct de aplicaţie, ceea ce putem realiza pentru forţele neparalele din acelaşi plan, pe care le putem deplasa pe suporturile respective până ce punctele de aplicaţie vin în punctul de întâlnire al suporturilor. Se admite, fără demonstraţie că: rezultanta a două forţe concurente este reprezentată, în mărime, în direcţie şi sens, prin diagonala paralelogramului construit pe forţele date ca laturi, rezultat cunoscut sub numele de regula paralelogramului.

Observând atunci că cele două forţe F1 şi F2, împreună cu rezultanta R=AC, formează un triunghi OAC sau OBC, problema compunerii şi descompunerii forţelor revine la rezolvarea unui triunghi.

Folosind teorema sinusurilor în triunghiul AOC vom avea:

OAsin ACO = OCsin AOC= ACsinOAC

sau F1sin⁡(R,F2) =F2sin⁡(R,F2)=Rsin⁡(F1,F2)

care exprimă că forţele şi rezultanta sunt proporţionale cu sinusurile unghiurilor formate de celelalte două.

Observând că OAC=1800-AOB şi teorema cosinusului aplicată triunghiului OAC, devine:

R2=F12+F22+2 F1F2 cos(F1,F2) (10)

care permite calculul rezultantei când cunoaştem forţele şi unghiul lor.

Dacă forţele sunt perpendicular, paralelogramul OACB devine un dreptunghi OAC=900, iar relaţia (10) devine:

R2=F12+F22 adică satisface teorema lui Pitagora.

2. Determinarea poziţiei unei raze după trecerea ei prin placă

Altă aplicaţie a trigonometriei în fizică este următoarea:

O rază luminoasă străbate o placă de sticlă luminată de plane paralele. Voi determina poziţia razei după trecerea ei prin placă.

 

Fie MN şi PQ planele care limitează placa, d grosimea plăcii şi n indicele de refracţie al ei. Raza incident AB se refract de două ori. Întâi întâlnind placa se refract mergând în direcţia BC determinată de legea refracţiei:

sinαsinβ = n

La ieşire din placă raza merge după direcţia CD, care se determină prin condiţia:

sinβsinγ=1n

Din aceste două relaţii rezultă: sinα=sinγ adică ţinând cont că α şi γ sunt ascuţite: α= γ

Deci prin trecerea unei raze luminoase printr-o placă cu feţele paralele, ea nu-şi schimbă direcţia.

3. Determinarea prin calcul a înălţimii unui turn vertical

Voi determina înălţimea unui turn vertical, în ipoteza că porţiunea de teren din vecinătatea bazei turnului este situată în planul orizontal.

Fie AB înălţimea turnului considerat şi O un punct din planul orizontal.

 

Plasând staţia în poziţia vertical O’O se vizează din O punctul B- vârful turnului.

În acest fel se măsoară unghiul COB=α format de dreapta OB cu proiecţia sa pe planul orizontal. Având în vedere că distanţa AO=b se măsoară pe teren, problema se reduce de fapt la determinarea catetei BC a triunghiului dreptunghic BCO în care se cunosc unghiul opus şi cealaltă catetă.

Aşadar CB=b tg α

Dacă h=OO este înălţimea instrumentului de măsurat unghiurile, atunci înălţimea turnului se calculează cu ajutorul formulei: AB=AC+CB=h+b tg α. Determinarea distanţei dintre două puncte situate într-o porţiune de trecere inaccesibilă

4. O altă aplicaţie a trigonometriei în topografie se referă la determinarea distanţei dintre două puncte A şi B situate într-o porţiune de teren inaccesibilă.

Presupunem că există punctele C şi D coplanar cui A şi B din care se văd aceste puncte şi astfel încât distanţa dintre ele să poată fi măsurată.

 

Fie b distanţa dintre punctele C şi D şi α, β, γ, δ măsurile unghiurilor ADB, BDC, DCA, ACB respectiv.

Din triunghiul ACD în care se cunosc latura CD şi unghiurile adiacente, obţinem:

AC = bsin(α+β)sin⁡(α+β+γ) Iar din triunghiul BCD: BC = bsinβsin⁡(β+γ+δ)

În acest fel în triunghiul ABC se cunosc laturile AC, BC şi unghiul cuprins între ele, prin urmare se poate calcula AB

 

Bibliografie:

Ghermănescu M., Aplicaţiile trigonometriei, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1963

Stoka M., Manual de Trigonometrie, E.D.P., Bucureşti, 1971


Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Componente ale comunicarii nonverbale

COMPONENTE ALE COMUNICĂRII NONVERBALE   Raluca-Nicoleta Iancău, profesor limba română Şcoala Generală nr. 6 Iacob Mureşianu, Braşov     Teoriile contemporane ale comunicării, influenţate de discipline atât de diverse ca lingvistica enunţării, psihologia, sociologia,...

Read more

Planificare model pentru consiliere si o…

Planificare model pentru consiliere si orientare invatamant primar   Incepand cu anul scolar 2011-2012, Ministerul Educatiei, Cercetarii, Tineretului si Sportului a oferit pentru prima data tuturor cadrelor didactice modele de planificari calendaristice....

Read more

Studiu privind gestionarea situatiilor c…

Studiu privind gestionarea situatiilor conflictuale

STUDIU PRIVIND GESTIONAREA SITUAȚIILOR CONFLICTUALE                                                                 Rotariu Corina – Daniela Liceul Tehnologic „Alexandru Vlahuță” Șendriceni   Rezumat Studiul de faţă se doreşte a fi o sumară radiografie a elementelor cu implicaţii în organizarea activităţii de...

Read more

Fisa de inregistrare a actelor de violen…

Fisa de inregistrare a actelor de violenta   Vezi fisa de inregistrare a actelor de violenta, elaborata de Institutul de Stiinte ale Educatiei, in cadrul Programului “Tinerii impotriva violentei”.  

Read more

Abardorarea educatiei din perspectiva dr…

ABORDAREA EDUCAȚIEI DIN PERSPECTIVA DREPTURILOR OMULUI Berea Alexandra-Elena, prof. înv. primar la Școala Gimnazială Nr.5 Piatra-Neamț Școala este un mediu care trebuie să-i pregătească astăzi pe adulții de mâine. Dacă...

Read more

Tabel personal didactic promovati la exa…

Tabel personal didactic promovaţi la examenele pentru obţinerea gradului didactic II   Vezi tabel nominal cuprinzând personalul didactic care a promovat examenele pentru obţinerea gradului didactic II, anexa 2   la ordin  nr. 3129...

Read more

Impreuna prin arta

ÎMPREUNĂ PRIN ARTĂ   Iosim Daniela Cristina, Profesor învăţământ primar Şcoala Gimnazială Nr. 4 ,,Fraţii Popeea” Săcele   Arta este în esență cea mai profundă expresie a creativității umane. Pe cât de dificil de definit, pe atât...

Read more

Evaluarile nationale pentru clasele II I…

Evaluarile nationale pentru clasele a II-a, a IV-a si a VI-a, amanate cu aproape o luna - calendar Evaluarile Nationale la clasele a II-a, a IV-a si a VI-a, programate sa...

Read more