Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

LicArt 2013 regulament

Clubul Nouă ne pasă! şi Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului  organizează a 12-a ediţie a Festivalului Naţional de Arte pentru Liceeni LicArt 2013 -secţiunile poezie, fotografie şi teatru-   Regulament LicArt   Poezie   La concurs pot participa...

Read more

Planificare model pentru consiliere si o…

Planificare model pentru consiliere si orientare invatamant primar   Incepand cu anul scolar 2011-2012, Ministerul Educatiei, Cercetarii, Tineretului si Sportului a oferit pentru prima data tuturor cadrelor didactice modele de planificari calendaristice....

Read more

Standarde profesionale in invatamant

STANDARDE PROFESIONALE ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT    Prof. Achim Maria Liceul de Artă „Ioan Sima” Zalau   MOTTO:  „Nu-i ÎNVEŢI pe copii  nici ceea ce ŞTII, nici ceea ce VREI ci ceea ce EŞTI.”               Prin natura umană, ne dorim...

Read more

Platoul carstic Vascau

PLATOUL CARSTIC VAȘCĂU   Prof. Mihaela Marian, Colegiul Tehnic ‘‘Constantin Brâncuși’’   Rezumat: Platoul carstic Vașcău reprezintă un areal ofertant din punct de vedere al resurselor oferite de relief, atât prin numărul mare al...

Read more

Regimul alimentar la romani in secolul a…

REGIMUL ALIMENTAR LA ROMÂNI ÎN SECOLUL AL XVII-LEA   Dragnea Mihai   Moldovenii și miedul Cronicarul și arhidiaconul sirian Paul de Alep (1627-1669) ne relatează câteva informații interesante despre consumul de mied (hidromel) la moldoveni....

Read more

Educatia incluziva educatia pentru toti

EDUCAŢIA INCLUZIVĂ, EDUCAŢIA PENTRU TOŢI Înv. Marc Aurica Șc. Gimn. Cîmpeni jud. Alba Şcoala are datoria de a asigura şanse egale tuturor elevilor. A asigura şanse egale elevilor înseamnă a...

Read more

Francofonia istoria unui cuvant

FRANCOFONIA: ISTORIA UNUI CUVÂNT prof. Drăgian Ana-Elena Colegiul Tehnic ,,Constantin Brâncuşi’’ Oradea „La francophonie c'est cet humanisme intégral, qui se tisse autour de la terre.” *( Léopold...

Read more

Competente generale pe niveluri de invat…

     Competenţe generale ale disciplinei pe niveluri de învăţământ                 Modelul comunicativ-funcţional şi competenţele-cheie specifice disciplinei limba şi literatura română impun anumite competenţe generale în cadrul programelor şcolare pe niveluri de...

Read more