Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Programul Scoala Altfel 2014

Programul Şcoala Altfel 2014   Vezi Programul "Şcoala altfel: Să ştii mai multe, să fii mai bun!" 2014, anexă la Ordinul nr. 3.818 din 3 iunie 2013 privind structura anului şcolar 2013-2014,...

Read more

Perfectionare

CALENDARUL DE DESFĂŞURARE A ACTIVITĂŢILOR DE PERFECŢIONARE PRIN DEFINITIVARE ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT ŞI GRADE DIDACTICE ÎN ANUL ŞCOLAR 2010-2011 (conform OM 5720/20.10.2009 privind metodologia formării continue a personalului didactic din învăţământul...

Read more

Copilaria si jocul Contributia scolii la…

COPILĂRIA ŞI JOCUL - CONTRIBUŢIA ŞCOLII LA DEZVOLTAREA PROFILULUI MORAL AL ELEVULUI Trifan Luminiţa, profesor învăţământ primar, Şcoala Gimnazială “Elena Văcărescu”, Bucureşti Prin materialul de mai jos  încerc să ...

Read more

Datele examenelor pentru gradul II la UB…

Datele examenelor pentru gradul II la UBB Cluj   Vezi datele probelor pentru obţinerea gradului didactic II la Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca.

Read more

Importanta educatiei fizice scolare si r…

IMPORTANȚA EDUCAȚIEI FIZICE ȘCOLARE ȘI ROLUL PROFESORULUI ÎN DEFINIREA MODELULUI ABSOLVENTULUI DE LICEU   Prof. Curticăpean  Aurelian Liceul Tehnologic "Dr. Ioan Șenchea" Făgăraș   Educaţia fizică este „singura disciplină din programa şcolară care urmăreşte pregătirea...

Read more

Rolul testelor in verificarea progresulu…

ROLUL TESTELOR ÎN VERIFICAREA PROGRESULUI ŞCOLAR Profesor Petrescu Daniela Școala Calotești Verificarea și notarea progresului școlar prezintă o importanță dublă, orientativă și simulatoare. Verificarea progresului se face prin metode, forme și...

Read more

Invatamantul simultan o problema frecven…

ÎNVĂȚĂMÂNTUL SIMULTAN-O PROBLEMĂ FRECVENTĂ A SATELOR ROMÂNEȘTI DE AZI Prof. Bota Maria Gabriela Liceul Teoretic Ioan Buteanu Somcuta Mare, Județul Maramureș Predarea simultană se...

Read more

evanghelia mitul christic si literatura

EVANGHELIA, MITUL CHRISTIC ŞI LITERATURA     Prof. drd., Mihaela Opre Grupul Şcolar "Voievodul Gelu", Zalău     I. Istorie vs. mit şi poetica romanelor secolului XX I.1. Evangheliile: mit sau antimit?             Relaţia dintre istoria sfântă conţinută...

Read more