Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Elemente de deontologie a evaluarii in c…

ELEMENTE DE DEONTOLOGIE A EVALUARII IN CONTEXTUL CREȘTERII  CALITĂŢII ACTULUI EDUCAȚIONAL LA DISCIPLINA MATEMATICĂ   Prof. Petruţ Steliana Grup Şcolar „Mihai Eminescu„ Jimbolia-Timiş     „Exemplul este cel mai de seamă mijloc educativ, în tot cursul vieţii,...

Read more

Educarea copilului in familie si implica…

EDUCAREA COPILULUI ÎN FAMILIE ŞI IMPLICAŢII LA NIVELUL ŞCOLII Prof. înv. primar Postelnicu Alina Şcoala Gimnazială „Gheorghe Diboş”, Comuna Măneşti Rezumat: Acest articol îşi propune să evidenţieze importanţa...

Read more

Studiu asupra efectelor constructive si …

 STUDIU ASUPRA EFECTELOR CONSTRUCTIVE ŞI/SAU DESTRUCTIVE ALE CONFLICTULUI   Raluca-Nicoleta Iancău, Profesor limba şi literatura română Colegiul Naţional de Informatică Gr. Moisil - Braşov, Braşov   Articolul este urmarea unui studiu efectuat într-un mediu formal...

Read more

Evaluarea rezultatelor scolare. Metoda c…

EVALUAREA REZULTATELOR ŞCOLARE METODA CUBULUI   Inst. DOBREA MONICA Şcoala cu cls. I-VIII „Înv. N. Pâslaru” Casin   Se pot folosi metode moderne chiar si în tratarea marilor teme din pedagogie....

Read more

De ce_step by step

DE CE “STEP BY STEP”?                                                Înv. Roatiș Alina Camelia                     Step by Step este o metodă alternativă de educație a copiilor bazată pe datele psihologiei științifice a dezvoltării copilului și vizează cultivarea...

Read more

Modificari privind normele metodologice …

Modificari privind normele metodologice pentru stabilirea obligatiei didactice de predare     Vezi ordin nr. 6.370 din 6 decembrie 2012 privind modificarea Normelor metodologice pentru stabilirea obligatiei didactice de predare a personalului de...

Read more

Les etapes de la comprehension orale

LES ETAPES DE LA COMPRÉHENSION ORALE   Ilie MINESCU Universitatea de Vest TIMIŞOARA     La pré-écoute Lors d’une activité de compréhension orale, les élèves comprennent en général: les mots qu'ils connaissent déjà; les mots transparents ; les mots dont...

Read more

Grila de observatie comportamentala a el…

GRILA DE OBSERVAȚIE COMPORTAMENTALĂ A ELEVULUI CU ADHD   Profesor  Adriana Liliana Bezman Şcoala Gimnazială Sf. Mihail şi Gavril, loc. Smârdan, jud. Galaţi                   Hiperactivitatea cu deficit de atenţie, ADHD, este una dintre tulburările...

Read more