Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Despre terapia prin joc si eficienta ace…

DESPRE TERAPIA PRIN JOC ŞI EFICIENŢA ACESTEIA ÎN OBŢINEREA UNOR COMPORTAMENTE DEZIRABILE LA COPII   Profesor psihopedagog Ştefănescu Adreana Centrul de Resurse şi Asistenţă Educaţională ”Speranţa” Timişoara, judeţul Timiş   Acest articol evidenţiază tehnici eficiente...

Read more

Jocul didactic pledoarie pentru cultivar…

JOCUL DE-A CITITORII ŞI PERSONAJELE - PLEDOARIE PENTRU CULTIVAREA SPIRITULUI LUDIC PRIN METODE (NE)CANONICE   Prof. Nicoleta Ichim Grup Şcolar „Ovid Caledoniu”, Tecuci, jud. Galaţi       Demersul îşi propune, aşa cum sugerează şi titlul, să...

Read more

Pregatire pentru gradul didactic II la U…

Pregătire pentru gradul didactic II la Universitatea Braşov   În perioada 10-13 iulie 2013, la Universitatea Braşov, se organizează cursuri / consultaţii de pregătire la metodica specialităţii şi pedagogie, pentru cadrele didactice...

Read more

Inspectia scolara generala a unitatilor …

CAPITOLUL II  Inspectia unitatilor de invatamant preuniversitar    SECTIUNEA a 4-a Inspectia scolara generala a unitatilor de invatamant preuniversitar: activitatea de postinspectie   Art. 33. -     In urma derularii activitatilor de inspectie, vor fi...

Read more

Metafora in poezia lui Nichita Stanescu

METAFORA ÎN POEZIA LUI NICHITA STĂNESCU Prof. Pătruț Anișoara Ramona Școala gimnazială Eșelnița, Mehedinți Metafora reprezintă o figură semantică ce presupune un transfer de termeni, posibil datorită conţinutului semantic, parţial comun....

Read more

Cerere de inscriere la concursul de ocup…

   ANEXA Nr. 2   la metodologie   Nr. ................/......................   Cerere de inscriere la concursul de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate               Se certifica exactitatea datelor. Presedintele comisiei de organizare si desfasurare a concursului ......................................... (numele si prenumele) Viza...

Read more

Lecturi obligatorii pentru clasa a VI-a

Lecturi obligatorii pentru clasa a VI-a   Literatura română *** Toma Alimos *** Novac si corbul Octavian Goga Poezii( selectiv) Grigore Alexandrescu Fabule( selectiv) George Cosbuc Poezii( selectiv) V. Alecsandri Pasteluri Mihai Eminescu Poezii Tudor Arghezi Cărticică de seară, Ce-ai cu mine, vântule? I. L. Caragiale Momente şi schiţe Ion Creanga Prostia...

Read more

Cum rezolvam o problema matematica

CUM REZOLVĂM O PROBLEMĂ MATEMATICĂ? Prof. Popa Crina Diana Școala Gimnazială Hășmaș, jud. Arad Una din sarcinile cele mai importante ale profesorului constă...

Read more