Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Revista cu ISSN

Aplicatii ale trigonometriei in fizica s…

APLICAŢII ALE TRIGONOMETRIEI ÎN FIZICĂ ŞI TOPOGRAFIE   Prof. Carmen Crafcenco Liceul Teoretic “ Mircea Eliade”, GALAŢI   Trigonometria găseşte numeroase aplicaţii în Statică, la compunerea forţelor, în optică dar şi în topografie. Topografia are...

Read more

Matematica este mai frumoasa folosind ca…

MATEMATICA ESTE MAI FRUMOASĂ FOLOSIND CALCULATORUL   Prof. Carmen Crafcenco Liceul Teoretic “ Mircea Eliade”, GALAŢI   Folosirea învăţării asistate de calculator sau a diferitelor softuri educaţionale ajută elevul să înveţe într-un mod creativ, creşte motivaţia...

Read more

Evaluarea nationala clasa a VIII-a 2017

Evaluarea nationala clasa a VIII-a 2017 Ministerul Educatiei Nationale si Cercetarii Stiintifice a publicat ordinul care prezinta calendarul desfasurarii Evaluarii Nationale la clasa a VIII-a in anul scolar 2016-2017. Calendarul examenului...

Read more

DEZVOLTAREA MUZICII CU PROGRAM IN SECOLU…

DEZVOLTAREA MUZICII CU PROGRAM ÎN SECOLUL AL XIX-LEA Profesor Lazar Mihaiela Liceul de Artã „Ioan Sima” Zalãu   Muzica programaticã, modalitate de exprimare specific romanticã, are de fapt o...

Read more

Limba si literatura romana model de subi…

Evaluarea Nationala 2013 Limba si literatura romana model de subiect si barem     Vezi subiectul model, precum si baremul de corectare pentru proba de Limba si literatura romana la Evaluarea Nationala, clasa...

Read more

Alexandru Macedonski_promotor al innoiri…

ALEXANDRU MACEDONSKI, PROMOTOR AL ÎNNOIRII POEZIEI ROMÂNEŞTI   Prof. Cojocaru Iuliana Şcoala cu clasele I-VIII, Nr. 9 „Petreche Poenaru”, Craiova       Poet, prozator, dramaturg, publicist, Macedonski a fost un promotor al înnoirii poeziei: o literaturã...

Read more

La traduction ecole de tolerance

LA TRADUCTION – ÉCOLE DE TOLÉRANCE                                                                                              Prof. Cipriana-Manuela NICHITA,                                                                                     Colegiul Economic "Ion Ghica" Brăila   "La traduction est, au mieux, un écho."George Borrow                                                               Avant-propos   Abstract La traduction ne peut pas se réduire au...

Read more

Admitere invatamant liceal si profesiona…

Admitere invatamant liceal si profesional 2016 Vezi ORDIN OMECS nr. 5082/31.08.2015 privind organizarea si desfasurarea admiterii in invatamantul liceal si profesional de stat pentru anul scolar 2016-2017,...

Read more