STUDIU DE SPECIALITATE

SCURT ISTORIC AL ALGEBREI LINIARE

Prof. Stancu Magdalena Ioana

Liceul Voievodul Mircea Târgovişte

Algebra liniară este ramura matematicii care studiază vectorii, spaţiile vectoriale (numite şi spaţii liniare), transformările liniare şi sistemele de ecuaţii liniare. Spaţiile vectoriale sunt o temă centrală în matematica modernă; astfel, algebra liniară este utilizată pe scară largă atât în algebra abstractă cât şi în analiza funcţională. Algebra liniară are de asemenea o reprezentare concretă în geometria analitică. Are aplicaţii numeroase în ştiinţele naturale şi ştiinţele sociale, întrucât sistemele şi fenomenele neliniare pot fi adesea aproximate printr-un model liniar.

Cuvinte cheie : algebră, vectori, matrice, determinanţi.

Istoria algebrei liniare moderne începe în anii 1843 şi 1844. În 1843, William Rowan Hamilton (care a introdus termenul de vector) a descoperit cuaternionii. În 1844, Hermann Grassmann şi-a publicat cartea Die lineare Ausdehnungslehre. Ceva mai târziu, în 1857, Arthur Cayley a introdus noţiunea de matrice, de o importanţă fundamentală în algebra liniară.

Algebra liniară îşi are începuturile în studiul vectorilor în spaţiul bidimensional şi tridimensional cartezian. În acestea un vector este un segment de dreaptă direcţionat, caracterizat atât prin lungime sau mărime şi direcţie. Vectorii pot fi folosiţi pentru reprezentarea anumitor mărimi fizice, cum ar fi forţele, şi pot fi adunaţi şi înmulţiţi cu scalari, ceea ce este un prim exemplu de spaţiu vectorial real.

Algebra liniară modernă s-a extins, luând în considerare spaţii de dimensiune arbitrară sau infinită. Cele mai multe rezultate utile din spaţiile bi- şi tri-dimensionale pot fi generalizate şi pentru aceste spaţii n-dimensionale. Deşi mulţi nu pot vizualiza uşor vectori în n dimensiuni, aceşti vectori, sau n-tuple sunt utili în reprezentarea datelor. Întrucât n-tuplele sunt liste ordonate de n componente, datele pot fi rezumate şi manipulate mai eficient cu această tehnică.

De exemplu, în economie, putem crea şi folosi vectori 8-dimensionali, sau 8-tuple, reprezentând produsul intern brut a 8 ţări. Putem decide să notăm PIB-ul a 8 ţări într-un anumit an fiind specificată prima dată ordinea ţărilor, de exemplu, Statele Unite, Marea Britanie, Franţa, Germania, Spania, India, Japonia, Australia printr-un vector (v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆, v₇, v₈), cu PIB-ul fiecărei ţări pe poziţia respectivă.

Un spaţiu vectorial (sau spaţiu liniar), este definit peste un corp, cum ar fi corpul numerelor reale sau corpul numerelor complexe.

Operatorii liniari transformă elemente dintr-un spaţiu liniar în altul (sau în el însuşi), de o manieră compatibilă cu operaţiile de adunare şi de înmulţire cu scalari definită pe respectivele spaţii. Mulţimea tuturor acestor transformări este ea însăşi un spaţiu vectorial.

Dacă spaţiul vectorial are fixată o bază, fiecare transformare liniară poate fi reprezentată printr-o tabelă de numere denumită matrice. Studiul detaliat al proprietăţilor matricelor şi al algoritmilor ce lucrează pe matrice, cum ar fi determinanţii sau vectorii proprii, se consideră a fi parte a algebrei liniare.

Se poate spune, pe scurt, că pentru problemele matematice liniare, cele care manifestă liniaritate, probabilitatea de găsire a unei soluţii este cea mai mare. De exemplu, calculul diferenţial este de mare ajutor în cazul funcţiilor dacă acestea sunt aproximate liniar. În practică, diferenţa între problemele liniare şi neliniare este foarte importantă. Metoda generală de a găsi un mod de abordare liniar pentru o problemă, de a exprima această abordare în termenii algebrei liniare, şi apoi de a o rezolva dacă e nevoie prin calcul matriceal, este una dintre metodele cele mai general valabile din matematică.

Şi în manuscrise chinezeşti cuprinse între 200-100 î.e.n. s-au găsit informaţii despre matrice. Primul exemplu în acest sens este documentul “9 Capitole din Arta Matematicii” scris în timpul dinastiei Han. Problema descoperită în acest document este la fel structurată ca şi în exemplul babilonian: “Avem 3 tipuri de cereale, dintre care trei grămezi din primul tip de cereale, două din al doilea şi una din al treilea tip şi cântăresc împreună 39 măsuri. Două grămezi din primul tip, trei din al doilea şi o grămadă din al treilea au împreună 34 măsuri. Una din primul tip, două din al doilea şi trei din al treilea fac 26 măsuri. Câte măsuri din fiecare tip de cereale conţine fiecare grămadă?”

Apoi în “Ars Magna” (1545) Cardan dă o regulă pentru rezolvarea unui sistem de două ecuaţii cu două necunoscute pe care el o numeşte “regula de modo”. Această regulă stă la baza regulii lui Cramer pentru rezolvarea unui sistem de 2 ecuaţii cu 2 necunoscute, ea nu a fost finalizată, nu s-a ajuns la definiţia determinantului dar e un pas important pentru obţinerea acestei definiţii.

Multe rezultate standard de teoria elementară a matricelor au apărut cu mult înainte ca matricele să devină subiect de investigaţie. De exemplu, de Witt în “Elements of curves” a publicat o parte a comentariilor din versiunea latină a geometriei lui Descartes (apărută în 1660) care arată cum printr-o transformare a axelor putem reduce ecuaţia unei conice date la forma ei canonică. Aceste raţionamente făcute de Witt sunt echivalente de fapt cu reducerea unei matrice simetrice la forma diagonală, dar de Witt nu a gândit niciodată în aceşti termeni.

Ideea de determinant a apărut în Japonia şi Europa cam în acelaşi timp. Seki (matematician japonez care a trăit intre 1642-1708) a fost totuşi cel care a publicat mai întâi în 1683 “Metode de rezolvare a problemelor disimulate” care conţin metode matriceale scrise în tabele în acelaşi mod ca şi metodele chinezeşti descrise mai înainte. Fără a avea un cuvânt care să corespundă “determinantului”, Seki a introdus determinanţii şi a dat metode generale pentru calcularea lor bazate pe exemple. Seki a fost pregătit să găsească determinanţi de ordin 2,3,4,5 şi i-a aplicat în rezolvarea ecuaţiilor dar nu a sistemelor de ecuaţii liniare.

Manuscrisele sale nepublicate conţin mai mult de 50 metode diferite de scriere a coeficienţilor sistemului cu care el a lucrat pe o perioadă de 50 ani începând cu anul 1678.

Doar două publicaţii (1700 sau 1710) conţin rezultate în legătură cu coeficienţii unui sistem şi el utilizează aceleaşi notaţii care au fost menţionate în scrisoarea către L’Hopital. Leibniz a folosit cuvâtul rezultantă pentru anumite sume combinatoriale de termeni ai unui determinant. El a demonstrat rezultate diverse, incluzâd ceea ce este în esenţă regula lui Cramer. El a ştiut că un determinant poate fi dezvoltat după orice coloană, ceea ce azi se cheamă dezvoltarea lui Laplace.

În 1730 Maclaurin a scris un tratat de algebră care n-a fost publicat decât în 1748, la doi ani după moartea sa. El conţine primele rezultate publicate despre determinanţii proveniţi din regula lui Cramer pentru sisteme de 2 ecuaţii cu 2 necunoscute, 3 ecuaţii cu 3 necunoscute şi a indicat cum putem lucra pentru sisteme de 4 ecuaţii cu 4 necunoscute. Cramer a indicat metoda generală pentru sistemele de n ecuaţii cu n necunoscute în articolul “Introducere în analiza curbelor algebrice”. El şi-a pus problema găsirii ecuaţiei unei curbe plane care trece printr-un număr dat de puncte. Regula apare în Appendix-ul acestui articol dar nu e dovedit acest lucru.

Cercetările de-a lungul timpului despre matrice şi determinanţi ne-au oferit o bază solidă pentru calcule şi ne faciliteză accesul pentru noi descoperiri în domeniul algebrei liniare.

BIBLIOGRAFIE

1. Năstasescu, C. Niţă, C. Vraciu, “Bazele algebrei”, Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bucureşti,1986;

2. D.Busneag, D.Piciu- “Lectii de algebră”, Editura .Univ.Craiova, 2002.

3. www.wikipedia.com