Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Studiu privind aplicatiile proprietatii lui Darboux
Scris de mihaiela lazar   
Miercuri, 08 Aprilie 2015 08:03

STUDIU PRIVIND APLICAŢIILE PROPRIETĂŢII LUI DARBOUX

Prof. Pantin Delia

Colegiul Tehnic Energetic „Regele Ferdinand I” Timişoara

Proprietatea lui Darboux poate fi folosită în rezolvarea unor probleme aplicative în diverse domenii ca: fizică, geometrie, trigonometrie, algebră, analiză matematică.

PROBLEME REZOLVATE

1) Distanţa dintre două puncte A şi B este de 160 km. Un mobil porneşte la momentul din A şi parcurge

distanţa AB în două ore. Considerând distanţa parcursă până la momentul ca funcţie continuă de

timp, arătaţi că există două puncte M, N între A şi B cu MN=80 km astfel încât mobilul parcurge distanţa

dintre ele exact într-o oră.

Rezolvare:

Pentru orice notăm cu distanţa parcursă de mobil în intervalul de timp [0,t]. Deci funcţia

R este continuă şi , . Distingem cazurile:

a)

Fie funcţia R, . Deoarece funcţia d este continuă, rezultă că şi funcţia f este continuă.

Observăm că , .

Deci .

Deoarece funcţia f este continuă atunci există astfel încât , deci . Aşadar, dacă notăm cu M şi N punctele dintre A şi B corespunzătoare valorilor , respectiv , avem MN=80 şi distanţa MN este parcursă într-o oră.

b)

Atunci M=A şi N este mijlocul segmentului [AB].

c)

Fie funcţia R, . Deoarece funcţia d este continuă, rezultă că şi funcţia g este continuă.

Observăm că , .

Deci 80 este între g(1) şi g(2).

Deoarece funcţia g este continuă atunci există astfel încât , deci . Aşadar, dacă notăm cu M şi N punctele dintre A şi B corespunzătoare valorilor , respectiv , avem

MN=80 şi distanţa MN este parcursă într-o oră.

2) Se dă triunghiul ABC astfel încât . Să se arate că există un punct astfel încât este media geometrică dintre * şi .

Rezolvare:

Fie D un punct oarecare aparţinând lui [AB] şi α măsura în radiani a unghiului ACD, , unde prin C înţelegem măsura unghiului ACB.

Aplicând teorema sinusurilor în triunghiurile CAD şi CDB obţinem (1) şi (2).

Înmulţind egalităţile (1) şi (2) obţinem (3)

Introducem funcţia R , dată prin .

Funcţia f este continuă şi , .

Rezultă că există astfel încât

există un punct astfel încât este media geometrică dintre* şi .

3) Să se stabilească semnul funcţiei pe domeniul maxim de definiţie.

Rezolvare:

Condiţiile de existenţă sunt şi rezolvând acest sistem obţinem domeniul maxim de definiţie al funcţiei.

Rezolvând ecuaţia obţinem soluţiile şi .

Funcţia f este continuă pe , deci are proprietatea lui Darboux pe D. Pe intervalele determinate de zerouri semnul funcţiei este constant. Pentru determinarea semnului pe un interval, este suficient să determinăm semnul unei valori intermediare.

În cazul nostru funcţia f păstrează semn constant pe intervalele ,, şi . Calculând valorile funcţiei în punctele

, , şi obţinem că , , şi .

Alcătuim tabelul de semn:

4) Determinaţi imaginea funcţiei R, şi stabiliţi dacă funcţia este surjectivă.

Rezolvare:

Deoarece funcţia f este continuă atunci este tot un interval.

Pentru a determina acest interval, este suficient să-i determinăm capetele.

Observăm că

  • ,
  • funcţia f este strict crescătoare, ca sumă de funcţii strict crescătoare.

Rezultă că R. Deoarece imaginea funcţiei prin demeniul de definiţie coincide cu codomeniul ei, rezultă că funcţia este surjectivă.

5) Funcţia R, nu are proprietatea lui Darboux pe (-2, 2).

Rezolvare:

Metoda I. Folosim definiţia.

Fie pentru care . Luăm şi constatăm că nu există pentru care .

Dacă ar exista pentru care atunci avem absurd.

Dacă ar exista pentru atunci avem . Rezultă că f nu este o funcţie Darboux.

Metoda II. Folosim faptul că funcţiile Darboux nu au puncte de discontinuitate de speţa întâi.

Cum şi rezultă că 0 este punct de discontinuitate de speţa intâi şi deci funcţia f nu are proprietatea lui Darboux.

Metoda III. Folosim faptul că dacă R cu nu este interval rezultă că f nu este o funcţie Darboux.

Observăm că nu este interval, deci f nu este o funcţie Darboux.

6) Arătaţi că funcţia RR , nu admite primitive pe R.

Rezolvare:

Metoda I: Din , rezultă că 1 este punct de discontinuitate de speţa întâi şi deci f nu admite primitive pe R.

Metoda II: Cum f(R)=(-¥, 1 ] È ( 2013, ¥ ) nu este interval, rezultă că f nu are proprietatea lui Darboux şi deci f nu admite primitive pe R.

Metoda III: Considerăm funcţiile RR , şi .

Observăm că

Deoarece funcţia este continuă pe R, rezulta că funcţia admite primitive pe R.

Cum nu este interval, rezultă că nu are proprietatea lui Darboux şi deci nu admite primitive pe R.

Arătăm, prin reducere la absurd, că f nu admite primitive pe R.

Presupunem că f admite primitive pe R. Atunci ar rezulta că funcţia ar admite primitive ca diferenţa a două funcţii primitivabile, contradicţie cu faptul că nu admite primitive pe R.

Deci funcţia f nu admite primitive.

Bibliografie:

1. MEGAN M., BUŞE C., LAŢCU D.R., Analiză Matematică, Editura Amarcod, Timişoara 1995

2. MEGAN M., IVAN GH., PUTA M., Examene şi concursuri pentru profesorii de matematică, Vol. I,

Editura Mirton, Timişoara 1997

3. MEGAN M., IVAN GH., PUTA M., Examene şi concursuri pentru profesorii de matematică, Vol. II,

Editura Mirton, Timişoara 1999

4. MEGAN M., IVAN GH., PUTA M., Matematica în Examene şi Concursuri, Editura Mirton,

Timişoara 2003

 

Revista cu ISSN

Educatia rational emotiv comportamentala…

EDUCAȚIA RAȚIONAL-EMOTIV- COMPORTAMENTALĂ ÎN CADRUL ORELOR DE LICEU Prof. ec. Cîrcotă Roxana Liceul Tehnologic de Marină Rezumat Lecţiile care utilizează educaţia raţional – emotiv...

Read more

Analiza tranzitorie pe forme hibride de …

ANALIZĂ TRANZITORIE PE FORME HIBRIDE DE DELICVENȚĂ JUVENILĂ SECȚIUNE ARGUMENTATIVĂ Prof. educator Mureșan-Chira Gabriel Școala Gimnazială Specială Centru de Resurse și Documentare privind Educația Incluzivă/ Integrată, Cluj- Napoca Rezumat: Contracararea subculturii...

Read more

Tulburari ale limbajului

TULBURÃRI ALE LIMBAJULUI Profesor: Maxim Elisabeta Şcoala cu clasele I-VIII Nr. 2 Botosani Acum ceva vreme în una din clasele la care predam era un copil...

Read more

Drepturile omului si ale copilului in sc…

  DREPTURILE OMULUI ŞI ALE COPILULUI ÎN SOCIETATEA CONTEMPORANĂ, DIN PERSPECTIVĂ TEOLOGICĂ prof. Butnărașu Constanța Camelia, Liceul Teoretic ,, Emil Racoviță,, Galați Conştiinţa creştină vede în viaţă un dar divin...

Read more

L etude de la litterature dans l enseign…

L’ÉTUDE DE LA LITTÉRATURE DANS L’ENSEIGNEMENT SECONDAIRE EN ROUMANIE SILVIA NICOLETA BALTĂ Şcoala Gimnazială „Maria Rosetti”, Bucureşti L’enseignement de la littérature dans le système d’enseignement secondaire roumain devrait être mis...

Read more

Jocul didactic la clasa pregatitoare

JOCUL DIDACTIC LA CLASA PREGĂTITOARE Prof. Înv. Primar, Vladu Ana Nicoleta Școala Gimnazială Nr. 3 Rovinari Jocul didactic constituie un mijloc valoros de...

Read more

Precizari evaluarea elevilor la proba de…

Precizari privind evaluarea elevilor la proba anticipata a examenului de bacalaureat sustinut de elevii sectiilor bilingve francofone in vederea obtinerii mentiunii speciale "sectie bilingva francofona" pe diploma de bacalaureat   Afla Precizarea...

Read more

Directii expresioniste in poezia lui Ion…

DIRECŢII EXPRESIONISTE IN POEZIA LUI ION BARBU Institutor: Nevodenszki Sorina Şcoala cu clasele I-VIII, Sînandrei, Jud. Timis   “În poezia mea, ceea ce ar putea trece drept modernism nu este...

Read more