Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Studiu privind aplicatiile proprietatii lui Darboux
Scris de mihaiela lazar   
Miercuri, 08 Aprilie 2015 08:03

STUDIU PRIVIND APLICAŢIILE PROPRIETĂŢII LUI DARBOUX

Prof. Pantin Delia

Colegiul Tehnic Energetic „Regele Ferdinand I” Timişoara

Proprietatea lui Darboux poate fi folosită în rezolvarea unor probleme aplicative în diverse domenii ca: fizică, geometrie, trigonometrie, algebră, analiză matematică.

PROBLEME REZOLVATE

1) Distanţa dintre două puncte A şi B este de 160 km. Un mobil porneşte la momentul din A şi parcurge

distanţa AB în două ore. Considerând distanţa parcursă până la momentul ca funcţie continuă de

timp, arătaţi că există două puncte M, N între A şi B cu MN=80 km astfel încât mobilul parcurge distanţa

dintre ele exact într-o oră.

Rezolvare:

Pentru orice notăm cu distanţa parcursă de mobil în intervalul de timp [0,t]. Deci funcţia

R este continuă şi , . Distingem cazurile:

a)

Fie funcţia R, . Deoarece funcţia d este continuă, rezultă că şi funcţia f este continuă.

Observăm că , .

Deci .

Deoarece funcţia f este continuă atunci există astfel încât , deci . Aşadar, dacă notăm cu M şi N punctele dintre A şi B corespunzătoare valorilor , respectiv , avem MN=80 şi distanţa MN este parcursă într-o oră.

b)

Atunci M=A şi N este mijlocul segmentului [AB].

c)

Fie funcţia R, . Deoarece funcţia d este continuă, rezultă că şi funcţia g este continuă.

Observăm că , .

Deci 80 este între g(1) şi g(2).

Deoarece funcţia g este continuă atunci există astfel încât , deci . Aşadar, dacă notăm cu M şi N punctele dintre A şi B corespunzătoare valorilor , respectiv , avem

MN=80 şi distanţa MN este parcursă într-o oră.

2) Se dă triunghiul ABC astfel încât . Să se arate că există un punct astfel încât este media geometrică dintre * şi .

Rezolvare:

Fie D un punct oarecare aparţinând lui [AB] şi α măsura în radiani a unghiului ACD, , unde prin C înţelegem măsura unghiului ACB.

Aplicând teorema sinusurilor în triunghiurile CAD şi CDB obţinem (1) şi (2).

Înmulţind egalităţile (1) şi (2) obţinem (3)

Introducem funcţia R , dată prin .

Funcţia f este continuă şi , .

Rezultă că există astfel încât

există un punct astfel încât este media geometrică dintre* şi .

3) Să se stabilească semnul funcţiei pe domeniul maxim de definiţie.

Rezolvare:

Condiţiile de existenţă sunt şi rezolvând acest sistem obţinem domeniul maxim de definiţie al funcţiei.

Rezolvând ecuaţia obţinem soluţiile şi .

Funcţia f este continuă pe , deci are proprietatea lui Darboux pe D. Pe intervalele determinate de zerouri semnul funcţiei este constant. Pentru determinarea semnului pe un interval, este suficient să determinăm semnul unei valori intermediare.

În cazul nostru funcţia f păstrează semn constant pe intervalele ,, şi . Calculând valorile funcţiei în punctele

, , şi obţinem că , , şi .

Alcătuim tabelul de semn:

4) Determinaţi imaginea funcţiei R, şi stabiliţi dacă funcţia este surjectivă.

Rezolvare:

Deoarece funcţia f este continuă atunci este tot un interval.

Pentru a determina acest interval, este suficient să-i determinăm capetele.

Observăm că

  • ,
  • funcţia f este strict crescătoare, ca sumă de funcţii strict crescătoare.

Rezultă că R. Deoarece imaginea funcţiei prin demeniul de definiţie coincide cu codomeniul ei, rezultă că funcţia este surjectivă.

5) Funcţia R, nu are proprietatea lui Darboux pe (-2, 2).

Rezolvare:

Metoda I. Folosim definiţia.

Fie pentru care . Luăm şi constatăm că nu există pentru care .

Dacă ar exista pentru care atunci avem absurd.

Dacă ar exista pentru atunci avem . Rezultă că f nu este o funcţie Darboux.

Metoda II. Folosim faptul că funcţiile Darboux nu au puncte de discontinuitate de speţa întâi.

Cum şi rezultă că 0 este punct de discontinuitate de speţa intâi şi deci funcţia f nu are proprietatea lui Darboux.

Metoda III. Folosim faptul că dacă R cu nu este interval rezultă că f nu este o funcţie Darboux.

Observăm că nu este interval, deci f nu este o funcţie Darboux.

6) Arătaţi că funcţia RR , nu admite primitive pe R.

Rezolvare:

Metoda I: Din , rezultă că 1 este punct de discontinuitate de speţa întâi şi deci f nu admite primitive pe R.

Metoda II: Cum f(R)=(-¥, 1 ] È ( 2013, ¥ ) nu este interval, rezultă că f nu are proprietatea lui Darboux şi deci f nu admite primitive pe R.

Metoda III: Considerăm funcţiile RR , şi .

Observăm că

Deoarece funcţia este continuă pe R, rezulta că funcţia admite primitive pe R.

Cum nu este interval, rezultă că nu are proprietatea lui Darboux şi deci nu admite primitive pe R.

Arătăm, prin reducere la absurd, că f nu admite primitive pe R.

Presupunem că f admite primitive pe R. Atunci ar rezulta că funcţia ar admite primitive ca diferenţa a două funcţii primitivabile, contradicţie cu faptul că nu admite primitive pe R.

Deci funcţia f nu admite primitive.

Bibliografie:

1. MEGAN M., BUŞE C., LAŢCU D.R., Analiză Matematică, Editura Amarcod, Timişoara 1995

2. MEGAN M., IVAN GH., PUTA M., Examene şi concursuri pentru profesorii de matematică, Vol. I,

Editura Mirton, Timişoara 1997

3. MEGAN M., IVAN GH., PUTA M., Examene şi concursuri pentru profesorii de matematică, Vol. II,

Editura Mirton, Timişoara 1999

4. MEGAN M., IVAN GH., PUTA M., Matematica în Examene şi Concursuri, Editura Mirton,

Timişoara 2003

 

Revista cu ISSN

Imaginea scolii in societate

IMAGINEA ȘCOLII ÎN COMUNITATE   Prof. STAN CRISTINA Școala Gimnazială „C.Giurescu” Chiojdu, jud. Buzău     Comunitatea locală a fost învestită cu dreptul și responsabilitatea de a se autoadministra sub aspectul resurselor locale și al priorităților,...

Read more

Experiente de lucru europene pentru o bu…

Experiente de lucru europene pentru o buna integrare pe piata muncii Life Long Learning Program Educatie pe tot parcursul vietii

“EXPERIENṬE DE LUCRU EUROPENE PENTRU O BUNĂ INTEGRARE PE PIAṬA MUNCII” “Life Long Learning Program”/“Educaţie pe tot parcursul vieţii”     Drd. prof. ing.  LILIANA CÎMPAN Colegiul Tehnic “Iuliu Maniu” Şimleu Silvaniei, Sălaj   Rezumat Un cadru propice...

Read more

Educatia religioasa dimensiune speciala …

EDUCAŢIA RELIGIOASĂ - DIMENSIUNE SPECIALĂ A EDUCAŢIEI GENERALE Prof. Pătrăşcanu Melania Emanuela, Colegiul Naţional Al.I.Cuza, Focşani "Dacă dezvoltăm numai forţele fizice ale unui copil, facem dintr-însul un atlet sau un...

Read more

Jocul didactic la clasa pregatitoare

JOCUL DIDACTIC LA CLASA PREGĂTITOARE Prof. Înv. Primar, Vladu Ana Nicoleta Școala Gimnazială Nr. 3 Rovinari Jocul didactic constituie un mijloc valoros de...

Read more

PROIECTAREA DIDACTICA

PROIECTAREA DIDACTICÃ – O ACŢIUNE CONTINUÃ ŞI UNITARÃ   Prof. Musat Liliana Liceul Teoretic Nicolae Cartojan Giurgiu     Motto: „Socrate spunea cã acei care stiu ce este fiecare lucru sunt în stare sã explice si...

Read more

Rolul jocului lingvistic in dezvoltarea …

ROLUL JOCULUI LINGVISTIC ÎN DEZVOLTAREA LIMBAJULUI LA PREŞCOLARI   Profesor învăţământ preşcolar, Marin Georgiana Cocuta G.P.N Nr. 1 Pinochio                Vârsta preşcolară presupune lărgirea şi complicarea raporturilor dintre copil şi realitatea înconjurătoare. Această deschidere...

Read more

Modele de subiecte pentru evaluarea init…

Modele de subiecte pentru evaluarea initiala   Pe site-ul oficial al Ministerului Educatiei au fost deja publicate modele de teste pentru evaluarile initiale la care vor fi supusi absolut toti elevii in cursul...

Read more

Cadrul asigurarii calitatii, politici si…

CADRUL ASIGURĂRII CALITĂŢII POLITICI ŞI PROCEDURI     O politică este o descriere cuprinzătoare care precizează în mod clar ce anume doreşte să realizeze un furnizor de EDUCAŢIE ŞI FORMARE PROFESIONALĂ în fiecare domeniu....

Read more