Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Rezultate examenul de definitivat 2012

Promovabilitatea la examenul naţional de acordare a definitivării în învăţământ (sesiunea 2012) - înainte de soluţionarea contestaţiilor   Luni, 23 iulie, au fost afişate rezultatele obţinute de cei 5.464 candidaţi care au...

Read more

Calendarul concursurilor nationale scola…

Calendarul concursurilor nationale scolare 2015 cu finantare   Vezi Calendarul concursurilor nationale scolare finantate de catre MECS organizate in anul 2014-2015, respectiv: ·         concursuri scolare pe domenii/discipline de studiu (limba materna, limba engleza,...

Read more

Munca independenta si jocurile didactice…

MUNCA INDEPENDENTĂ ŞI JOCURILE DIDACTICE, ÎN CICLUL PRIMAR înv. Marc Aurica Școala Gimnazială Cîmpeni Activitatea independentă a elevilor constituie deopotrivă mijloc şi scop al demersului didactic. Din acest punct de vedere,...

Read more

Rolul si importanta jocurilor logico-mat…

ROLUL ŞI IMPORTANŢA JOCURILOR LOGICO-MATEMATICE ÎN ACTIVITĂŢILE INSTRUCTIV-EDUCATIVE DIN ÎNVĂŢĂMÂNTUL PRIMAR Prof. înv. primar si preşcolar Niţu Florina, Grădiniţa cu program normal „Lumea copiilor„ Topoloveni ...

Read more

Regulament recunoasterea studiilor din i…

Ordin pentru aprobarea Regulamentului privind recunoasterea in invatamantul tertiar nonuniversitar a studiilor obtinute in cadrul invatamantului liceal - filiera tehnologica sau vocationala

Read more

Rolul dirigintelui in activitatea educat…

ROLUL DIRIGINTELUI ÎN ACTIVITATEA EDUCATIVĂ profesor Mirela POPOV Școala Gimnazială Ceamurlia de Jos, județul Tulcea (Rolul dirigintelui este acela de a atinge succesul împreună cu clasa de elevi, conform unui plan...

Read more

Infiintare Consiliul National pentru Pre…

Înfiinţare Consiliul Naţional pentru Prevenirea şi Combaterea Violenţei în mediul şcolar   Ministrul Liviu Marian Pop a emis ordinul de înfiinţare a Consiliului Naţional pentru Prevenirea şi Combaterea Violenţei în mediul şcolar Ministrul interimar...

Read more

Cuvinte dominante in limbajul poetic al …

CUVINTE DOMINANTE ÎN LIMBAJUL POETIC AL LUI VASILE VOICULESCU   Prof. Simona Crainic, Liceul De Arte Plastice, Timişoara   Lucrarea de faţă îşi propune un studiu statistic al vocabularului poetic al lui V.Voiculescu....

Read more