Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

La traduction poetique

LA TRADUCTION POETIQUE   Prof. Florescu Paula Cristina, Liceul Tehnologic Constantin Brâncuşi Piteşti   Acest articol se opreşte asupra actului de traducere poetică care este capital pentru dialogul între culturi şi mai ales între...

Read more

Dezvoltarea abilitatilor practice

DEZVOLTAREA ABILITĂȚILOR PRACTICE Prof. Cosma Camelia Veronica, Liceul de Artă Ioan Sima, jud. Sălaj Abstract: Developing student’s practical skills is an important aspect that gives them the opportunity to...

Read more

Studentii din strainatate sustin protest…

 Studentii din strainatate sustin protestul colegilor de acasa      PRINCIPALELE DATE ALE EVENIMENTULUI:   Unde: Universitatea Essex, UK, sala: 5A.322 Cand: 9 Decembrie 2011, 7:00pm-9:30pm (ora UK) Ce: Cel putin 20 de studenti romani (studiind in...

Read more

Nanotehnologiile notiuni introductive

I. NOŢIUNI INTRODUCTIVE         I.1.  Ce reprezintă nanotehnologiile?       Cuvântul Nano provine din limba greacă şi înseamnă “pitic”.  Un nanometru este a miliarda parte  (10-9) dintr-un metru.  Nanotehnologia poate fi definită ca...

Read more

Literary devices_the vane sisters_Vladim…

LITERARY DEVICES IN “THE VANE SISTERS”, BY VLADIMIR NABOKOV Huniadi Lorina Manuela Colegiul Economic “Emanuil Gojdu” Hunedoara Nabokov’s short story ‘The Vane Sisters’ (March 1951)...

Read more

Importanta si rolul literaturii pentru c…

IMPORTANȚA  ȘI ROLUL LITERATURII PENTRU COPII ÎN FORMAREA PERSONALITĂȚII PREȘCOLARULUI Prof. înv. preșc. Ivașcu Celestina Școala Gimnazială Petrești, Dâmbovița Basmele sunt foarte atractive pentru cei mici. De-a lungul timpului ele...

Read more

Metodologie de organizare si desfasurare…

Metodologie de organizare si desfasurare a probelor specifice sustinute de elevii sectiilor bilingve francofone in vederea obtinerii mentiunii speciale "sectie bilingva francofona" pe diploma de bacalaureat   Afla Metodologia din 10 septembrie...

Read more

Campul lexical semantic concepte operato…

CÂMPUL LEXICAL SEMANTIC - CONCEPTE OPERATORII Profesor Andra Elena Diaconu Profesor de limba și literatura română, Școala Gimnazială Fitionești, județul Vrancea În concepția lui Eugen Coșeriu conceptele operaționale cu care trebuie să...

Read more