Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Martisorul, traditie si legenda

MÃRŢIŞORUL, TRADIŢIE ŞI LEGENDÃ Prof. Laura Mihaela Herman Şcoala cu clasele I-VIII „ Nicolae Iorga” Baia Mare     Mãrtisorul, un obicei pãgân de pe vremea dacilor si romanilor Descoperirile arheologice aratã...

Read more

Invatarea activa

ÎNVĂȚAREA ACTIVĂ Prof. înv. primar Vaida Ioana-Alina, Liceul Tehnologic nr 1 Gîlgau Învățarea activă este metoda cea mai utilizată de către cadrele didactice în activitatile centrate pe elevi. Cuvinte cheie: Învățare,...

Read more

Reguli de ameliorare a comunicarii didac…

REGULI DE AMELIORARE A COMUNICĂRII DIDACTICE Oprescu Eugenia - profesor Liceul Tehnologic Virgil Madgearu Roşiori de Vede Formarea competenţelor comunicative constituie un obiectiv...

Read more

Pledoarie pentru meseria de invatator

PLEDOARIE PENTRU MESERIA DE ÎNVĂŢĂTOR   Prof. înv. primar  Daniela Iosim Şcoala Gimnazială Nr. 4 ,,Fraţii Popeea”, Săcele, jud. Braşov   Being a teacher is beautiful, is hard , is interesting, is a challenge. A...

Read more

Evaluarea activitatii personalului didac…

Evaluarea activitatii personalului didactic si didactic auxiliar - ordin nr. 3597/18.06.2014 – modificari si completari Vezi Ordin nr. 3597/18.06.2014 pentru modificarea si completarea Metodologiei de evaluare anuala a activitatii personalului...

Read more

Metode interactive folosite in predarea …

METODE INTERACTIVE FOLOSITE ÎN PREDAREA-ÎNVĂŢAREA UNITĂŢILOR DE MĂSURĂ   Ţermure Felicia, institutor Liceul Teoretic „W. Shakespeare” Timişoara   „Împreună, indivizii generează şi discută idei, ajungând la o gândire care depăşeşte posibilităţile unui singur individ.” (C. Costa) Transformările...

Read more

Google forms un instrument util pentru c…

GOOGLE FORMS, UN INSTRUMENT UTIL PENTRU CADRELE DIDACTICE Profesor Bușcă Alexandru Liceul Tehnologic “Lazăr Edeleanu”, Năvodari Rezumat: Articolul de față prezintă importanța utilizării instrumentului Google...

Read more

La modalisation quelques typologies

LA MODALISATION-QUELQUES TYPOLOGIES   Ilie MINESCU Universitatea de Vest din Timişoara   La modalisation est une notion conflictuelle de la linguistique contemporaine. Cela résulte de sa polymorphie et de son caractère vaste et mouvant. De...

Read more