Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Nanotehnologiile notiuni introductive

I. NOŢIUNI INTRODUCTIVE         I.1.  Ce reprezintă nanotehnologiile?       Cuvântul Nano provine din limba greacă şi înseamnă “pitic”.  Un nanometru este a miliarda parte  (10-9) dintr-un metru.  Nanotehnologia poate fi definită ca...

Read more

Educatia Globala activitati de planifica…

EDUCAŢIA GLOBALĂ  - REPERE METODOLOGICE -       4.      ACTIVITĂŢI – PLANIFICARE, ORGANIZARE ŞI EVALUARE 4.1.            PLANIFICAREA ACTIVITĂŢILOR: PERSPECTIVĂ, RESURSE, COOPERARE Activităţile din sfera educaţiei globale pornesc de la premiza parteneriatului, a valorizării experienţei fiecărui partener,...

Read more

Martisorul, traditie si legenda

MÃRŢIŞORUL, TRADIŢIE ŞI LEGENDÃ Prof. Laura Mihaela Herman Şcoala cu clasele I-VIII „ Nicolae Iorga” Baia Mare     Mãrtisorul, un obicei pãgân de pe vremea dacilor si romanilor Descoperirile arheologice aratã...

Read more

Mari matematicieni ai antichitatii

Mari matematicieni ai antichitatii

MARI MATEMATICIENI AI ANTICHITĂŢII   Prof. Popp Loredana Şcoala cu clasele I-VIII SINANDREI   Euclid din Alexandria Euclid din Alexandria originar din Damasc(ca. 325 î. Hr, 265 î. Hr) a fost un matematician grec care a...

Read more

Statutul epistemologic al pedagogiei

STATUTUL EPISTEMOLOGIC AL PEDAGOGIEI   Orice stiinta se constituie relativ lent, parcurcand 3-4 faze. Faza prestiintifica se caracterizeaza prin faptul ca fenomenelor care impresioneaza sau uimesc li se dau explicatii mitico-religioase, fiind insotite...

Read more

Impactul retelelor electrice asupra medi…

IMPACTUL REŢELELOR ELECTRICE ASUPRA MEDIULUI - EFECTUL CORONA                                                                         Drd. prof. ing. Liliana Cîmpan Colegiul Tehnic “I. Maniu” Şimleu Silvaniei   Rezumat: Această lucrare prezintă cateva aspecte legate de poluarea mediului inconjurător generată de reţelele...

Read more

Activitatea dirigintelui

PRECIZĂRI pentru aplicarea Ordinului M.E.C.I. nr. 5132/10.09.2009 privind organizarea şi desfăsurarea activităţilor specifice funcţiei de diriginte    În atenţia directorului,  coordonatorului de proiecte şi  programe educative şcolare şi extraşcolare, responsabilului comisiei metodice...

Read more

Surse si resurse de relationare ale cons…

SURSE ȘI RESURSE DE RELAȚIONARE ALE CONSILIERULUI ȘCOLAR CU ELEVII CICLULUI GIMNAZIAL   Andone Crenguța - profesor Colegiul Tehnic de Transporturi Brașov   Rezumat: Consilierea reprezintă o acțiune complexă prin care se urmărește sugerarea...

Read more