Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Succesul scolar perspectiva finlandeza

SUCCESUL ȘCOLAR. PERSPECTIVA FINLANDEZĂ Prof. Alexandru Colțan Școala Gimnazială Săcălaz, jud. Timiș În ultima decadă, sistemul educațional finlandez a atins constant...

Read more

Asupra unor inconsecvente in notatiile d…

ASUPRA UNOR INCONVENIENŢE ÎN NOTAŢIILE DIN MANUALELE DE FIZICĂ ACTUALE   prof. Cristea Adrian Colegiul Tehnic"Petru Poni" – Roman, jud. Neamț   Deoarece în standardul actual, ISO-31, nu am găsit descrierea explicită a modului de...

Read more

Problematica esecului scolar

PROBLEMATICA EȘECULUI ȘCOLAR Negoiță Anca-Roxana Școala Gimnazială, Sat Cătina Comuna Florești, Județul Prahova „Maxima debetur puero reverentia” (Unui copil trebuie să i se arate cel mai mare respect) ...

Read more

Fenomenul bullying in mediul scolar si m…

FENOMENUL “BULLYING” ÎN MEDIUL ŞCOLAR - CAUZE, FORME, CONSECINŢE, MĂSURI ANTI-BULLYING Prof. Florea Corina - Paula Liceul Tehnologic „Nicolae Dumitrescu”, loc. Cumpăna, jud. Constanţa Fenomenul “bullying” a depăşit, de...

Read more

Viata de student

Viata de student

Viata de student   Pentru studentii noi veniti in Bucuresti trebuie sa fie un soc total primul contact cu capitala, mai ales daca provin dintr-un mediu linistit, de la tara sau din...

Read more

Individ persoana personalitate omul

INDIVID – PERSOANĂ – PERSONALITATE. OMUL. Prof. Contescu  Mihaela Magdalena Liceul Tehnologic ”1 Mai”, Municipiul Ploiești Filosofia operează mai mult cu noțiunea Omul, aceasta incluzând în sine biologicul,...

Read more

Inluziunea o realitatea pentru elevii cu…

INCLUZIUNEA - O REALITATE? ELEVII CU CES ŞI LECTURA Prof. Cristina Hanţ, Liceul Teoretic „Adam Muller Guttenbrunn”, Arad Rezumat: Lucrarea are...

Read more

Children in the fairy world tales

                   CHILDREN IN THE FAIRY WORLD TALES   Prof. Octavian Horia MINDA Şcoala Cu Clasele I-VIII Sinandrei Timis     Proiectul eTWINNING  COPIII ÎN LUMEA BASMELOR în care am fost cooptat de către colegii din Franţa...

Read more