Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Revista cu ISSN

Managementul agresivitatii la varsta sco…

MANAGEMENTUL AGRESIVITĂȚII LA VÂRSTA ȘCOLARĂ MICĂ înv. Marc Aurica Școala Gimnazială Cîmpeni Agresivitatea este o problemă cu care se confruntă părinţii, cadrele didactice şi mai apoi societatea fiind o problemă...

Read more

Programul Scoala Altfel

Programul Scoala Altfel Prevederi generale 1. Saptamana 2-6 aprilie 2012 va fi dedicata activitatilor educative extracurriculare si extrascolare, in cadrul programului numit "Scoala altfel". In aceasta saptamana nu se organizeaza cursuri...

Read more

Educatie interdependenta si solidaritate…

  Educatie, interdependenta si solidaritate intr-o lume in schimbare   Introducere Al  doilea Congres European despre Educatia globala: Educatie, interdependenta si solidaritate intr-o lume in schimbare  a fost organizat de Centrul Nord-Sud al Consiliului Europei (NSC) in parteneriat cu Global Education Network Europe (GENE) și CONCORD Europe, in cooperare...

Read more

Familia si scoala in crearea fiintei soc…

FAMILIA ŞI ŞCOALA ÎN CREAREA FIINŢEI SOCIALE   Profesor Mihăeş Violeta Şcoala cu clasele I-VIII Ploscuţeni, Vrancea   Rezumat Indiferent de perspectiva din care sunt abordate, familia şi şcoala îndeplinesc un set complex de roluri, acestea...

Read more

Aplicatii ale trigonometriei in fizica s…

APLICAŢII ALE TRIGONOMETRIEI ÎN FIZICĂ ŞI TOPOGRAFIE   Prof. Carmen Crafcenco Liceul Teoretic “ Mircea Eliade”, GALAŢI   Trigonometria găseşte numeroase aplicaţii în Statică, la compunerea forţelor, în optică dar şi în topografie. Topografia are...

Read more

mobilitati individuale de formare contin…

MOBILITĂŢI INDIVIDUALE DE FORMARE CONTINUĂ CURSUL DE FORMARE EJOURNALISM 2.0. - EDUCATIONAL COLLABORATION ACROSS BORDERS USING WEB BASED TOOLS, THE „MIDNIGHT SUN” COURSE IN LAPLAND, FINLANDA (relatarea unei participante)   Prof. limba şi...

Read more

Studiu asupra efectelor constructive si …

 STUDIU ASUPRA EFECTELOR CONSTRUCTIVE ŞI/SAU DESTRUCTIVE ALE CONFLICTULUI   Raluca-Nicoleta Iancău, Profesor limba şi literatura română Colegiul Naţional de Informatică Gr. Moisil - Braşov, Braşov   Articolul este urmarea unui studiu efectuat într-un mediu formal...

Read more

creativitate in educatie_invatarea bazat…

creativitate in educatie_invatarea bazata pe proiect cu final deschis

FOLOSIREA METODEI ÎNVĂŢAREA BAZATĂ PE PROIECT CU FINAL DESCHIS   Profesor Adela Grozeanu Liceul Teoretic „Callatis” Motto:"Copilul trebuie învăţat să-şi folosească ochii, nu numai pentru a vedea, dar şi pentru a privi; urechile...

Read more