MATEMATICA ŞI METODA PROBLEMATIZĂRII

Gogan Gabriela, profesor de matematică 

Şcoala cu clasele I-VIII Nr. 1 ”Nicolae Labiş” Mălini, judeţul Suceava 

În articolul “MATEMATICA ŞI METODA PROBLEMATIZĂRII” este reliefat rolul matematicii în dezvoltarea personalităţii umane (sub aspect intelectual, estetic şi moral), evidenţiind importanţa rezolvării problemelor în înţelegere şi învăţare. Problematizarea constituie metoda de bază în dezvoltarea capacităţii creatoare a elevului, ²în studiul ştiinţelor, problemele fiind mai importante decât regulile² (Isaac Newton).

Pornind de la cele trei elemente ce intervin în structura oricărei probleme (ipoteză, concluzie, demonstraţie), sunt exemplificate diferite tipuri probleme, precum şi aspecte legate de metodele generale de rezolvare (analiză şi sinteză).

Cuvinte cheie: matematică, problemă, problematizare, ipoteză, concluzie, demonstraţie, analiză, sinteză.

Matematica - ²cea mai frumoasă dintre ştiinţe² (Paul Valéry) - se ocupă cu studiul mărimilor, al relaţiilor cantitative şi al formelor spaţiale.

Definirea matematicii stă sub semnul aceluiaşi cerc vicios ca şi definirea filozofiei: ”pentru a putea spune ce este filozofia (matematica), trebuie să avem la îndemână un criteriu clar prin care să delimităm ceea ce este al filozofiei (matematicii), de ceea ce nu este al ei. Dar pentru aceasta trebuie să ştim dinainte ce este filozofia (matematica), altfel nu putem opera cu o asemenea delimitare” (Wilhelm Dilthey).

Matematica este ştiinţa conceptelor de o extremă generalitate, este o excelentă şcoală de formare a gândirii în etape, care ordonează lucrurile conform complexităţii lor. Ea dezvoltă gândirea recurentă, ne învaţă să abordăm studiul proceselor cu o infinitate de etape; are rolul de a dezvolta gândirea combinatorie, gândirea analogică, dezvoltă capacitatea de a descoperi o structură comună în fenomene aparent diferite.

Studierea matematicii are o importanţă deosebită prin obiectivele specifice urmărite:

- formarea unei gândiri matematice, exprimată atât printr-un vocabular matematic adecvat, cât şi printr-un sistem de algoritmi de calcul şi judecată;

- determinarea unor comportamente practice orientate spre folosirea activă a noţiunilor şi cunoştinţelor acumulate în practica uzuală;

- depistarea elementelor de afirmare a creativităţii în mânuirea “aparatului matematic” (reguli, noţiuni, axiome, teoreme, etc.).

Matematica îşi dovedeşte importanţa deosebită, participând cu mijloace proprii la dezvoltarea personalităţii, nu numai sub aspect intelectual, ci şi sub aspect estetic şi moral.

Din punct de vedere al dezvoltării intelectuale, învăţarea matematicii exersează judecata, îl ajută pe om să facă distincţie între adevărul ştiinţific şi neadevăr; antrenează organizarea logică a gândirii, ordonarea ideilor, recunoaşterea ipotezelor şi a consecinţelor, formează capacităţile atenţiei, antrenează memoria logică, favorizează dezvoltarea imaginaţiei creatoare, îl ajută să-şi formeze simţ critic constructiv, formează spiritul ştiinţific exprimat prin obiectivitate şi precizie, stârneşte gustul cercetării. ²Nu există pe lume un studiu care să pună mai armonios în acţiune facultăţile spiritului, decât cel al matematicilor (James Joseph Sylvester).²

Sub aspect estetic, studierea matematicii cultivă unele calităţi ale exprimării gândirii (claritate, ordine, concizie), îl face pe om să recunoască şi să aprecieze legătura cu creaţia artistică relevată în echilibrul architectural, compoziţia artelor plastice, a ritmurilor şi structurilor muzicale, îl face sensibil faţă de frumuseţea naturii. ²Matematica posedă o valoare estetică la fel de pregnantă ca cea a muzicii şi a poeziei²(J.P.King). Matematica reunită cu poezia oferă un orizont mult mai vast pe care ochiul şi sufletul omenesc să-l cuprindă.

Opera de artă, ca şi opera matematică, impune respect, stârneşte admiraţia celorlalţi şi produce bucurii realizatorului. ²Operele matematicii robesc şi încântă, întocmai ca operele pasiunii şi imaginaţiei² (Ion Barbu).

Din perspectiva dezvoltării morale, matematica formează gustul pentru adevăr şi obiectivitate, determină nevoia de rigoare, discernământ şi probarea ipotezelor, trezeşte nevoia de a cunoaşte, formează deprinderi de cercetare şi investigaţie, stimulează voinţa de a duce la capăt un lucru început. Ea preîntâmpină adoptarea unor atitudini nemotivate şi întâmplătoare. După Gheorghe Vrânceanu, ²matematica este corectă, precisă, nu înşeală. Din punct de vedere matematic, nu există decât adevăruri şi falsuri; şansa verificărilor până la capăt exclude controversele². Grigore Moisil subliniază faptul că ²tot ce este gândire corectă este sau matematică, sau susceptibilă de matematizare.²

Matematica se învaţă nu pentru a se şti, ci pentru a se folosi, pentru a se aplica în practică în rezolvarea diferitelor probleme, fiind ştiinţa care a pătruns aproape în toate domeniile de cercetare şi care îşi aduce o importantă contribuţie la dezvoltarea tuturor ştiinţelor. ²E drept că matematica pare uneori să ne îndrume spre ţinuturi ce nu au nici o legătură cu lumea faptelor, în mijlocul căreia respirăm … De atâtea ori însă, tocmai aceste născociri … îşi găsesc ulterior aplicarea cea mai surprinzătoare² (Lucian Blaga).

Termenul ²problemă² nu este suficient delimitat şi precizat. Etimologic, în limba germană, ²pro-ballein² înseamnă ²înaintea unei bariere², ²obstacol care stă în cale², ce mai poate fi interpretat ca o dificultate teoretică sau practică, a cărei înlăturare nu se poate face prin aplicarea directă a unor cunoştinţe şi metode cunoscute, ci acţiunea comportă investigare, căutare.

De altfel, cum arată şi etimologia greacă a cuvântului ²problemă², aceasta reprezintă o provocare la căutare, la descoperirea soluţiei, ca ²fiind rezultatul elaborării prin gândire şi nu a aplicării standard a unui algoritm² (Olleron).

În rezolvarea unei probleme, subiectul încearcă mai multe scheme de răspuns care-i vin pe moment în minte, apoi le modifică şi le înlocuieşte cu altele, până ajunge la rezultat. După Okon, ²trebuie considerată drept problemă, orice dificultate teoretică sau practică, a cărei soluţionare reprezintă rezultatul unei activităţi proprii de cercetare a elevului, prin care conducându-se după anumite reguli, tinde să învingă dificultatea respectivă şi prin aceasta dobândeşte noi cunoştinţe şi experienţă.²

De fapt, noţiunea de problemă are caracter relativ; ceea ce este dificil, deci o problemă pentru cineva, poate fi simplu, fără nici un fel de problemă pentru altcineva, în funcţie de pregătirea şi experienţa anterioară a persoanelor respective.

În faţa unei probleme, rezolvitorul trăieşte simultan două realităţi: una de ordin cognitiv, referitoare la experienţa trecută, pe care şi-o reactualizează, şi una de ordin motivaţional, ce rezultă pe baza elementului de noutate şi necunoscut cu care se confruntă acesta.

Efortul cu problemele constituie terenul cel mai favorabil pentru dezvoltarea capacităţilor creatoare ale gândirii elevului. Un mijloc stimulativ pentru gândire şi pentru o atitudine activă a elevului, îl constituie discuţia asupra informaţiilor iniţiale ale problemei, comparaţiile şi analogiile, care asigură angajarea proprie şi afectivă a elevului în procesul rezolvării. După Bruner, ²a instrui pe cineva într-o disciplină, înseamnă a-l învăţa să participe la procesul care face posibilă crearea de cunoştinţe, a-l face să gândească el însuşi matematic, să privească fenomenele într-un mod istoric, într-o ierarhie a învăţării.²

Dacă sunt asigurate condiţiile interne ale învăţării, elevul este în stare să rezolve o problemă, în funcţie de indicaţiile furnizate şi de capacitatea sa intelectuală.

Condiţiile necesare rezolvării problemelor constau în:

- alăturarea regulilor ce urmează să fie îmbinate, pentru a ajunge la soluţie;

- actualizarea regulilor aferente, prin îndrumări verbale, sub forma unor întrebări cu rol de a stimula această actualizare;

- dirijarea gândirii pe anumite direcţii, atât prin îndrumări verbale, cât şi prin auto-instrucţiuni.

Aceste îndrumări trebuie folosite în aşa fel încât elevul să nu devină dependent de îndrumător, ci îndrumătorul trebuie să-l ghideze pe elev, încât acesta din urmă să-şi poată asuma singur funcţia corectivă. Aşa cum afirmă Polya, ²profesorul trebuie să ajute, dar nici mult, nici prea puţin, astfel ca elevului să-i revină o parte raţională din muncă.² Întrebările au rolul de a trezi curiozitatea, nevoia cunoaşterii unei proprietăţi noi, de a stimula elevii la căutare, la descoperirea anumitor relaţii, de a găsi ideea de rezolvare, de a verifica rezultatul obţinut şi de a-i îndemna la valorificarea acestuia.

După Cerghit, întrebările pot fi:

- convergente – care îndeamnă la analize, comparaţii, sinteze;

- divergente – care exersează gândirea pe traiectorii originale;

- de evaluare – care necesită emiterea de judecăţi de valoare, anticipative.

Nu trebuie neglijate nici condiţiile de desfăşurare: elevului să-i se lase timp de reflecţie, să fie lăsat să-şi expună până la capăt ideea, etc.

Pentru a fi un adevărat rezolvitor de probleme, elevul trebuie să-şi fi însuşit o mulţime de deprinderi. George Polya subliniază: ²a şti să rezolvi o problemă, este o îndemânare practică, o deprindere, cum este înotul, schiul sau cântatul la pian, care se poate învăţa numai prin imitare sau exerciţiu. Dacă vreţi să-i învăţaţi pe copii înotul, trebuie să-i băgaţi în apă, iar dacă vreţi să-i învăţaţi să rezolve probleme, trebuie să-i puneţi să rezolve probleme.²

În învăţarea matematicii, rolul rezolvării problemelor este foarte important. În primul rând, problemele au efecte în plan cognitiv:

- activează; fiecare problemă întrerupe starea pasivă de receptare în care se află subiectul când ascultă sau citeşte, invită la acţiune, la căutare;

- reactualizează; fiecare problemă invită pe subiect să reactualizeze alte cunoştinţe. Cu această ocazie, subiectul poate constata că unele cunoştinţe nu mai sunt disponibile şi se impune revenirea asupra lor;

- aplică; fiecare problemă cere aplicarea unor cunoştinţe, cel mai adesea nu în forma în care s-au însuşit, ci în una uşor modificată, adaptată condiţiilor din problemă;

- contribuie la dezvoltarea capacităţii intelectuale în componentele ei (reprezentarea cantitativă şi spaţială, capacitatea de abstractizare, capacitatea de schematizare, deprinderea de a gândi deductiv).

Rezolvarea problemelor are rol esenţial şi în atingerea obiectivelor din domeniul psiho-motor, care vizează deprinderile intelectuale şi practice specifice matematicii:

- antrenează capacitatea de organizare logică a ideilor;

- întăreşte atenţia;

- măreşte puterea de concentrare în intensitate şi durată;

- antrenează memoria logică;

- măreşte capacitatea de analiză şi sinteză;

- dezvoltă gustul pentru obiectivitate şi precizie;

- sensibilizează la frumuseţea formelor spaţiale.

Aşadar, actul rezolutiv este important atât pe parcursul desfăşurării lui ca activitate de construcţie mintală, cât şi după consumarea lui, prin rezultatele în plan cognitiv şi afectiv pe care le reflectă; actul rezolutiv contribuie la dezvoltarea personalităţii rezolvitorului (dezvoltarea unui spirit critic şi autocritic, educarea unor însuşiri ale atenţiei, câştigarea încrederii în propriile forţe, dezvoltarea calităţilor voinţei, dezvoltarea atracţiei pentru problematic, a emoţiilor descoperirii, emoţiilor estetice în faţa actului de creaţie împlinit).

În structura oricărei probleme, intervin trei elemente:

- ipoteza (I), care conţine datele problemei, considerate afirmaţii adevărate, precum şi adevărurile stabilite anterior;

- concluzia (C), care conţine afirmaţii ce trebuie dovedite;

- interdependenţa dintre ipoteză şi concluzie (date şi necunoscute), care se concretizează într-un lanţ de raţionamente, procedeu sau algoritm folosit pentru rezolvare (²Þ²).

În funcţie de aceste elemente, distingem mai multe tipuri de probleme:

1) I, C şi ²Þ² sunt cunoscute şi se cere verificarea -acesta este un exerciţiu de verificare.

Exemplu: În triunghiul ABC, a =10, b =8, c =6, iar m_a, m_b, m_c sunt medianele corespunzătoare laturilor a, b, c. Utilizând teorema medianei, să se arate că m_a=5, m_b=2 , m_a= .

2) I şi ²Þ² sunt cunoscute şi se cere C –problemă de tip exerciţiu în care se cere aplicarea unei metode, a unui algoritm.

Exemplu: Să se rezolve sistemul de ecuaţii: , prin metoda substituţiei.

3)I şi C sunt cunoscute, iar ²Þ²este necunoscută –problemă în care dificultatea este de a găsi calea, acţiunea.

Exemplu: Fie ABCD un pătrat şi E mijlocul laturii [AB]. Dreapta DE intersectează perpendiculara în A pe AC în punctul F. Să se arate că punctele C, B, F sunt coliniare.

4) I este cunoscută, ²Þ² şi C sunt necunoscute –probleme de construcţii geometrice, probleme de loc geometric.

Exemplu: Să se construiască un un cerc tangent la o dreaptă dată într-un punct dat şi la un cerc dat.

5) ²Þ² şi C sunt cunoscute şi I este necunoscută –probleme de tipul :din ce poate proveni concluzia?

Exemplu: Să se arate că  (")x, yÎℝ, x, y>0.

6) C este cunoscută, iar I şi ²Þ² sunt necunoscute –probleme în care se ştie rezultatul şi se întreabă din ce ar putea proveni şi pe ce cale. Acestea sunt probleme de descoperire.

7) ²Þ² este cunoscută, iar I şi C sunt necunoscute –probleme de creativitate, ce constau de fapt în compunerea unei probleme sau exerciţiu, după un anumit procedeu dat.

8) I, ²Þ² şi C sunt necunoscute –probleme de invenţie; în acest caz, subiectul alege singur ipoteza, calea de rezolvare şi concluzia, construind singur o problemă.

Rezovarea problemelor nu beneficiază de o metodă universală. Analizând modurile de acţiune ale găndirii (analiză, sinteză, abstractizare, generalizare), se pot formula două metode generale de rezolvare:

- metoda sintezei – gândirea se concentrează asupra ipotezelor, pe care le modifică, le grupează şi le combină, până la obţinerea concluziei. În acest caz, gîndirea evoluează de la cunoscut spre necunoscut.

- metoda analizei – gândirea evoluează de la necunoscut spre cunoscut. Se porneşte de la întrebare, de la concluzie, care se modifică spre a o apropia de ipoteză sau ceva echivalent cu ipoteza.

Exemplu: teorema lui Pitagora (Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.)

i) demonstraţia prin metoda sintezei:

Fie DABC, m(⊀A) =90°.

Fie A’-proiecţia punctului A pe dreapta BC.

În DABC, m(⊀A) =90° ÞAB² =BA’×BC , AC² =CA’×BC (teorema catetei) ÞAB²+AC² =(BA’+CA’)×BC =BC×BC =BC² ÞAB²+AC² =BC².∎

ii)demonstraţia prin metoda analizei:

Fie BC =a, AC =b, AB =c.

Pornind de la concluzie, avem c²+b² =a². Interpretând a², b², c² ca ariile pătratelor de laturi a, b şi respectiv c, aceasta conduce la construcţia următoare:

De fapt, ar trebui să demonstrăm că pătratul de latură a poate fi acoperit cu două pătrate de laturi b, respective c. Aceasta nu se poate face şi modul cel mai simplu de a acoperi este cu două dreptunghiuri, unul echivalent cu pătratul de latură b, iar altul echivalent cu pătratul de latură c. Notând cu x şi y laturile diferite de a ale celor două dreptunghiuri şi având în vedere echivalenţa cu pătratele menţionate, se obţine:

ax =b², ay =c² –relaţii ce conduc la teorema catetei Þx este proiecţia catetei AC pe ipotenuză, iar y este proiecţia catetei AB pe ipotenuză Þconstruim A’ –proiecţia punctului A pe dreapta BC (construcţie justificată), BA’ =x, CA’ =y.

aşadar, a² =ax +ay =b² +c².∎

Observaţie: demonstraţia pe cale analitică cere mai mult timp, dar este mai instructivă.

Utilitatea rezolvării problemelor apare în orice etapă a procesului de învăţământ: în predarea noilor cunoştinţe (prin situaţii –problemă), în învăţarea, consolidarea cunoştinţelor, în verificarea şi autoverificarea cunoştinţelor.

Ca metodă de învăţare, problematizarea este denumită şi predare prin rezolvare de probleme sau predare prin rezolvare productivă de probleme. Metoda constă în punerea elevului în dificultate, în mod intenţionat, pentru depăşirea căreia prin efort propriu, elevul învaţă ceva nou.

Situaţiile problematice pot apărea când:

- există un dezacord între vechile cunoştinţe ale elevului şi cerinţele impuse de rezolvarea unei noi situaţii;

- elevul trebuie să aleagă dintr-un lanţ sau sistem de cunoştinţe, numai pe cele necesare unei situaţii date;

- elevul este pus în faţa unei contradicţii între modul de rezolvare posibil din punct de vedere teoretic şi dificultatea de aplicare în practică;

- elevului i se cere să aplice în condiţii noi, cunoştinţe anterior asimilate;

- elevului i se cere să sesizeze dinamica mişcării, chiar într-o schemă apparent statică.

Necesitatea utilizării acestei metode constă în:

- faptul că favorizează aspectul formativ al învăţământului, prin participarea efectivă şi susţinută a elevului şi prin dezvoltarea interesului de cunoaştere;

- sporeşte trăinicia şi aplicabilitatea informaţiei elevului în practică;

- determină o mai mare posibilitate de transfer a cunoştinţelor însuşite.

Aplicarea acestei metode presupune însă o serie de condiţii:

- toţi elevii să fie obişnuiţi să fie activi la ore;

- elevii să fie obişnuiţi să lucreze individual sau în grupe mici în timpul orei;

- majoritatea elevilor să fie buni rezolvitori de probleme;

- momentul de plasare a problemei în lecţie să fie bine ales;

- efectivul de elevi al clasei să nu fie prea mare;

- programa şcolară să nu fie prea încărcată;

- elevii să fie obişnuiţi a gândi nota ca recompensă pe plan secund, satisfacţia principală fiind înţelegerea, descoperirea, creaţia.

Deşi se constată că imediat după perioada de învăţare, metoda expozitivă are ca rezultat o actualizare mai bună a regulilor învăţate, însuşirea acestora pe calea descoperirii (învăţarea problematizată, învăţarea prin descoperire), generează o capacitate deosebit de eficace, care se păstrează bine mari perioade de timp.

²Matematica este calea de înţelegere a Universului² (Pitagora)

Bibliografie:

1. ANASTASIEI, Mihai., Metodica predării matematicii, Universitatea “Al. I. Cuza”, Iaşi, Facultatea de Matematică, 1985;

2. BRÂNZEI, D., BRÂNZEI, R., Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Piteşti, 2000;

3. CÂRJAN, Florin, Didactica matematicii, Editura Corint, Bucureşti, 2002;

4. PĂUN, Gheorghe, Din spectacolul matematicii, Editura Albatros, Bucureşti, 1983.